Распределения вероятностей

Интерактивные графики функций плотности вероятностей и функций распределения. Нормальное распределение (Гаусса), распределение Пуассона, экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла и бета-распределение.

Нормальное распределение (распределение Гуасса)

\(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\mathrm{exp}(-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2})\)

\(F(x)=\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}(\frac{x-\mu}{\sqrt{2 \sigma^2}})]\)

\(\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits_{0}^{x} e^{-t^2}dt\) — функция ошибок

Распределение Пуассона

\(f(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\)

\(F(x)=\frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!}\)

Экспоненциальное распределение

\(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)

\(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)

Распределение Вейбулла

\(f(x)=\frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1} e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\)

\(F(x)=1-e^{-(\frac{x}{\lambda})^k}\)

При \(k=1\) (интенсивность не изменяется) получается экспоненциальное распределение, \(k<1\) показывает, что интенсивность отказов уменьшается, а \(k>1\) — увеличивается.

Бета-распределение

\(f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)}\)

\(F(x)=I_{x}(\alpha, \beta)\) (регуляризованная неполная бета-функция)

При \(\alpha=1\) и \(\beta=1\) — равномерное распределение.

20 июля 2020